一元二次方程2

一元二次方程2

3.实际问题与一元二次方程(3)知识点精析与应用知识点精析1.列一元二次方程解决实际问题的基本步骤方法和列一元一次方程解决实际问题的步骤相同,可归纳为”审,设,列,解,验,答”.(1)审:认真审题,分析题意,弄清已知与未知,寻找等量关系,特别要抓住题中表述数量关系的关键词,如”多””倍””增长””成比例”等等.(2)设:就是设定未知数,分直接设未知数和间接设未知数,直接设未知数就是问什么设什么,反之就是间接设未知数,根据具体问题进行合理选择,以能准确列出方程为目标.(3)列:即根据问题中的等量关系列出方程,一般问题中都会有两个隐含的等量关系,一个用来设未知数,另一个用来列方程.(4)解:合理选择方法求出方程的解.(5)验:对求得的方程的解进行检验,舍去不符合实际意义的解.列一元二次方程求解的应用问题一般会产生两个解,必须检查它们是否符合方程和生活实际,再正确取舍.如:某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可以售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加利润,尽量减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每件衬衫降价1元,商场平均每天多售出2件,若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫要降价多少元?解:设每件衬衫应降价x元,则每件所获得的利润为(40-x)元,但每天可多销出2x件,每天可卖(20+2x)件,根据题意可列方程:(40-x)(20+2x)=1200方程化简整理为:x2-30x+200=0解得:x1=20x2=10答:若商场每天要盈利1200元,每件应降价10元或20元.[点拔]当降价20元或10元时,每天都能盈利1200元,因要尽量减少库存,在获利相同条件下,降价愈多,销售越快,才能满足题目中的要尽量减少库存的要求,故应选择每件降价20元.因而列方程解应用题时应认真审题,不能漏掉任何一个条件.[启迪]库存时间多一天，要占地方，要放损坏，还不能加强资金周转，这些生意经也成了解题的隐含条件.(6)答:写出结果,回答问题,保证过程的完整.2.列一元二次方程解应用题,关键是正确地找到隐含在问题中的等量关系.(1)要正确熟练地作文字语言与数学式子的转换.(2)充分运用题目中所给的条件.(3)要善于发现利用间接的,潜在的等量关系.(4)对一般应用题,可以从以下几个方面着手寻找相等关系.①利用题目中的关键语句作为相等关系.②利用公式、定理作为等量关系.③从生活、生产实际经验中发现等量关系.3.本节主要涉及如下两类应用问题.(1)平均增长率(增长率或降低率)问题;在此类问题中,一般有变化前的基数(a),增长率(x)变化的次数(n),变化后的基数(b),这四者之间的关系可用公式a(1+x)n=b表示.这类问题中等量关系通常由这个公式及由相关的词语”译”出.(2)经营问题,这也是近年来中考中出现频率高的应用问题.在这类问题中有进价(a)售价(b)利润(p)件数(n)等相关的量.这些量之间的关系可用公式p=(b-a)n表示,同时件数(n)又经常与售价(b)关联,在解答此类问题时,一定要准确地找到反映它们关系的代数式.解题方法指导例1（南京市，2007）某农场去年种植了10亩地的南瓜，亩产量为2000，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜，已知南瓜种植面积的增长率是亩产量的增长率的2倍，今年南瓜的总产量为60000kg，求南瓜亩产量的增长率．解设南瓜亩产量的增长率为，则种植面积的增长率为,根据题意，得．解这个方程，得，（不合题意，舍去）．答：南瓜亩产量的增长率为．例2（黄冈市课改区）市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少？说明用一元二次方程求解的实际问题必须对所求值结合实际予以讨论取舍，本题中x=1.8明显不符合生活中实际，故需舍去。例3（黄冈市）张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体运输箱且此长方体运输箱底面的长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这块矩形铁皮共花了多少元钱？解设这种运输箱底部宽为x米,则长为(x+2)米,依题意,有x(x+2)×1=15，化简,得x2+2x－15=0∴x1=-5(舍),x2=3∴这种运输箱底部长为5米,宽为3米由长方体展开图知,要购买矩形铁皮面积为:(5+2)×（3+2）=35（m2）∴做一个这样的水箱要花35×20=700元钱例4.某儿童玩具商店将进货价为30元的一种玩具以40元售出,平均每月能售出600个.调查表明:这种玩具售价每上涨1元,其销售量将减少10个,为了实现平均每月12000元的销售利润,这种玩具的售价应定为多少?这时进这种玩具多少个?[分析]设每玩具涨价x元,则售价为(40-x)元,每一只玩具的利润为(40+x-30)元,销售的件数为(600-10x)件,根据总利润为12000元列出方程.设每件玩具涨价x元，根据题意可列方程：(40+x-30)(600-10x)=12000解之，得：x1=20,x2=30检验知x1=20,x2=30均符合题意所以，每只玩具售价应定为60元或70元，进货量应为400只或300只。[点拨]每一只玩具利润和销售总量均与上涨的价格有关,因而设上涨的价格为未知数较合适,用含未知数的代数式表示每一只玩具的利润和销售量.基础达标演练1．（扬州市）某药品原价每盒元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒元，则该药品平均每次降价的百分率是______．2．（泰州市）我国城镇居民2004年人均收入为9422元，2006年为11759元，假设这两年内人均收入平均年增长率相同，则年增长率为（精确到0.1%）．3．（连云港市）为执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费2500万元，预计2008年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为，则下列方程正确的是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．4.（2010，山东临沂市）为落实素质教育要求，促进学生全面发展，我市某中学2009年投资11万元新增一批计算机，计划以后每年以相同的增长率进行投资，2011年投资18.59万元。(1)求该学校为新增计算机投资的每年平均增长率；(2)从2009年到2011年，该中学三年为新增计算机共投资多少万元？5.（咸宁市，2010）随着人们节能意识的增强，节能产品的销售量逐年增加．某商场高效节能灯的年销售量2008年为5万只，预计2010年将达到7.2万只．求该商场2008年到2010年高效节能灯年销售量的平均增长率．6.（安徽省）据报道，我省农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2006年的利用率只有30%，大部分秸杆被直接焚烧了。假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2008年的利用率提高到60%，求每年的年平均增长率。(取≈1.41)7.（烟台市，2010）去冬今春，我国西南地区遭遇历史上罕见的旱灾，解放军某部接到了限期打30口水井大的作业任务，部队官兵到达灾区后，目睹灾情心急如焚，他们增派机械车辆，争分夺秒，每天比原计划多打3口井，结果提前5天完成任务，求原计划每天打多少口井？8.（昆明市）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品,该商店可以自行定价,若每件商品售价为a元,则可卖出(350-10a)件,但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%,商店计划要赚400元,需要卖出多少件商品?每件商品售价多少元?9.10.（山西省）宏达汽车租货公司共有出租车120辆,每辆汽车的日租金为160元,出租业务天天供不应求,为适应市场需求,经有关部门批准,公司准备适当提高日租金,经市场调查发现,一辆汽车日租金每增加10元,每天出租的汽车相应地减少6辆.若不考虑其它因素,公司将每辆汽车的日租金提高几个10元?(1)能使公司的日租金总收入达到19380元?(2)使公司的日租金总收入最高?最高是多少?答案与提示1．20%2．3。B4.(1)设该学校为新增计算机投资的年平均增长率为x，根据题意，得一元二次方程11(1nullx)2=18.59，解这个方程，得x1=0.3，x2=null2.3(不合题意，舍去)；答：该学校为新增计算机投资的年平均增长率为30%。(2)11null11null(1null0.3)null18.59=43.89(万元)；答：从2009年到2011年，该中学三年为新增计算机共投资43.89万元。5.设年销售量的平均增长率为，依题意得：．解这个方程，得，．因为为正数，所以．答：该商场2008年到2010年高效节能灯年销售量的平均增长率为．6.设我省每年产出的农作物秸杆总量为a，合理利用量的增长率是x，由题意得：30%a（1＋x）2=60%a，即（1＋x）2=2，∴x1≈0.41，x2≈－2.41(不合题意舍去)，∴x≈0.41。即我省每年秸秆合理利用量的年平均增长率约为41%7、设原计划每天打x口井，由题意可列方程30/x-30/(x+3)=5,去分母得，30（x+3）-30x=5x(x+3),整理得，x2+3x-18=0解得x1=3，x2=-6（不合题意舍去），经检验，x2=3是方程的根，答：原计划每天打3口井8.设每件商品应售x元,才能使商店赚400元,根据题意,得(x-21)(350-10x)=400解之得:x1=25x2=31(不合题意应舍去).当x1=25时,350-10x=350-250=100.答:该商店需要卖出100件商品,每件商品应售25元,才使商品赚400元.9.(1)设公司将每辆汽车日租金提高x个10元,才能使公司的日租金总收入达到19380元,根据题意有(160+10x)(120-6x)=19380即x2-4x+3=0解之得x1=1x2=3检验知x1=1x2=3均符合题意.故公司将每辆汽车租金提高10元或30元,公司的日租金总收入达到19380元.(2)设公司的将每辆汽车日租金提高x个10元,则公司每天出租的汽车为(120-6x)辆,则每天的租金总收入为(160+10x)(120-6x)=-60(x+16)(x-20)=-60(x2-4x-320)=-60[x2-4x+4-324]=-60(x-2)2+19440∴当x=2时,此时有最大值19440即公司将每辆汽车的日租金提高2个10元时,公司的日租金收入最高,最高租金收入为19440元.10.考点剖析本节知识是中考必考内容，一般占10分左右，特别是与经济生活相关的应用问题是热点，这就要求不仅要掌握列一元二次方程解决问题的基本方法，还必须了解社会知识，生活规律，注重积累经验，以便正确解题.考题探究例1（沈阳市）某市位于沙漠边缘，为治理荒沙，加快绿化，全市大搞植树种草活动。到2009年初绿化率达全市的30%。此后的政府计划在几年内，将每年年初未被绿化的沙漠面积的m%栽上树进行绿化，到2010年底，全市绿化率将达到43.3%%，求m的值.分析被绿化的面积每年增加m%，即未被绿化的面积每年减少m%，故本题从反向角度考虑，易于找到等量关系.解依题意可列方程，得(1-30%)(1-m%)=1-43.3%解方程，得m1=10,m2=190(舍去)∴m的值为10。说明：本题中注意m的值不是一个百分数。例2．（烟台市）某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次．第1档次(最低档次)的产品一天能生产76件，每件利润10元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少4件．(1)若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数，且1≤x≤10)，求出y关于x的函数关系式；(2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1080元，求该产品的质量档次．例3(青海省)某玩具店采购人员第一次用100元去采购“企鹅牌”玩具，很快售完．第二次去采购时发现批发价上涨了0.5元，用去了150元，所购玩具数量比第一次多了10件．两批玩具的售价均为2.8元．问第二次采购玩具多少件？（说明：根据销售常识，批发价应该低于销售价）解析“批发价上涨0.5元””玩具数量比第一次多10件”是本题两个等量关系,一个作为设未知数,另一个用来列方程,所以列方程关键在审题时找到正确的等量关系.注意分式方程求解要进行检验,看是不是增根和是否符合题意,再决定取舍.解法一：设第二次采购玩具件，则第一次采购玩具件，由题意得整理得解得，．经检验，都是原方程的解．当时，每件玩具的批发价为（元），高于玩具的售价，不合题意，舍去；当时，每件玩具的批发价为（元），低于玩具的售价，符合题意，因此第二次采购玩具60件．解法二：设第一次采购玩具件，则第二次采购玩具件，由题意得整理得，解得，．经检验，，都是原方程的解．第一次采购40件时，第二次购件，批发价为（元）不合题意，舍去；第一次采购50件时，第二次购件，批发价为（元）符合题意，因此第二次采购玩具60件．思维拓展训练1.（2010，长沙市）长沙市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费．物业管理费是每平方米每月1.5元．请问哪种方案更优惠？2.（安徽省，2010）在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年3月分的14000元/下降到5月分的12600元/⑴问4、5两月平均每月降价的百分率是多少？（参考数据：）⑵如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月分该市的商品房成交均价是否会跌破10000元/？请说明理由。(1)设4、5两月平均每月降价的百分率为x，根据题意，得14000·(1-x)2=126000(3分)化简，得(1-x)2=0.9，解得x1≈0.05，x2≈1.95（不合题意，舍去）因此，4、5两月平均每月降价的百分率约为5%。(2)如果按此降价的百分率继续回落，估计7月份的商品房成交均价为12600（1-x）2=12600×0.9=1134010000。同此可知，7月份该市的商品房成交均价不会跌破10000元/m2。解得x3.（南京市，2010）某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓是单价为40元，设第二个月单价降低元。（1）填表（不需化简）时间第一个月第二个月清仓时单价（元）8040销售量（件）200（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？解(1)80-x200+10x800-200-(200+10x)(2)由题意知，获得总利润为：(80-50)×200+(80-x-50)(200+10x)+(40-50)×[800-200-(200+10x)]=900.整理，得x2-20x+100=0解这个方程，得x1=x2=10当x=10时，80-x=7050答：为使获利9000元，则第二个月的单价应是70元。4.（2010，浙江省温州市）在日常生活中，我们经常有目的地收集数据，分析数据，作出预测．(1)下图是小芳家2009年全年月用电量的条形统计图。根据图中提供的信息，回答下列问题：①2009年小芳家月用电量最小的是月，四个季度中用电量最大的是第季度；②求2009年5月至6月用电量的月增长率；(2)今年小芳家添置了新电器．已知今年5月份的用电量是120千瓦时，根据2009年5月至7月用电量的增长趋势，预计今年7月份的用电量将达到240千瓦时．假设今年5月至6月用电量月增长率是6月至7月用电量月增长率的1.5倍，预计小芳家今年6月份的用电量是多少千瓦时?(1)①5三②答：2009年5月至6月用电量的月增长率是65%。(2)设今年6月至7月用电量月增长率为x，则5月至6月用电量月增长率是1.5x。由题意得120(1+1.5x)(1+x)=240化简得3x2+5x-2=0解得∴120×(1+1.5x)=120×答：预计小芳家今年6月份的用电量是180千瓦时。5.（成都市，2010）随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭，成为居民消费新的增长点．据某市交通部门统计，2007年底全市汽车拥有量为180万辆，而截止到2009年底，全市的汽车拥有量已达216万辆．（1）求2007年底至2009年底该市汽车拥有量的年平均增长率；（2）为保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2011年底全市汽车拥有量不超过231.96万辆；另据估计，从2010年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10％．假定每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆．6.（重庆市潼南县，2010）某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成.甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用30天完成此项工程.（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？（2）若甲工程队独做a天后，再由甲、乙两工程队合作天（用含a的代数式表示）可完成此项工程；（3）如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？7.（天津市）某水果经销商上月份销售一种新上市的水果，平均售价为10元/千克，月销售量为1000千克，经市场调查，若将该种水果调低至x元/千克，则本月份销售量y(千克)与x(元/千克)之间符合一次函数关系式y=kx+b，当x=7时，y=2000；当x=5时，y=4000。(1)求y与x之间的函数关系式；(2)已知该种水果上月份的成本价为5元/千克，本月份的成本价为4元/千克，要使本月份销售这种水果所获利润比上月份增加20%，同时，又要让顾客得到实惠，那么，该种水果的价格每千克应该调低多少元？（利润=售价-成本）。解(1)：依题意得∴∴y=-1000x+9000(2)设水果的价格每千克就调至a元。(x-4)(-1000x+9000)=(10-5)×1000×(1+20%)X2-12x+42=0∴x1=6x2=7∵要让顾客得到实惠，∴x=6，∴10-6=4(元)故该种水果每千克价格应调低4元。8.（广州市）顾客李某：A品牌的空调一次降价幅度就达到，是不是质量有问题？营业员：不是一次降价，这是第二次降价，今年春节期间已经降了一次价，两次降价的百分率相同.我们销售的空调质量都是很好的，尤其是A品牌系列空调的质量是一流的.顾客李某：我们单位的同事也想买A品牌的空调，有优惠政策吗？营业员：有，有两种优惠方案：方案一：如果不要送货上门的话，价格可以再优惠5%，但为了运输安全和方便，需要另付90元的包装材料费；方案二；如果要送货上门，价格只能再优惠2%，但可免费使用专用包装。(1)根据这段对话，求这种商品每次降价的百分率；(2)你认为老李会选择何种方案，为什么？解(1)设这种商品每次单价百分率为x∴1×(1-x)2=1-19%解得：x1=1.9,x2=0.1∵x1，∴x=0.1=10%(2)设老李买商品共付钱x元，不送货上门费用为y1元，送货上门费用为y2元。∴y1=x×(1-5%)+90=0.95x+90y2=x×(1-2%)=0.98xy1y2时，0.95x+900.98xx3000y1=y2时,0.95x+90=0.98xx=3000当y1y2时，0.95x+900.98xx3000