如图，平行四边形$OABC$的顶点$A$在$x$轴的正半轴上，顶点$B$的坐标为（$\frac{9}{2}$，$3)$，点$D$在边$AB$上，已知三角形$ODC$的面积是$\frac{15}{4}$，反比例函数$y=\frac{k}{x}(k \gt 0,x \gt 0)$的图象经过$C$、$D$两点.$(1)$求点$C$的坐标；$(2)$求点$D$的横坐标.

如图，平行四边形$OABC$的顶点$A$在$x$轴的正半轴上，顶点$B$的坐标为（$\frac{9}{2}$，$3)$，点$D$在边$AB$上，已知三角形$ODC$的面积是$\frac{15}{4}$，反比例函数$y=\frac{k}{x}(k \gt 0,x \gt 0)$的图象经过$C$、$D$两点.$(1)$求点$C$的坐标；$(2)$求点$D$的横坐标.

（1）如图，过点$D$作$DM\bot AC$于点$M$，过点$B$作$BE\bot x$轴于点$E$，

$\therefore $平行四边形$OABC$的面积$=OC\cdot DN=OA\cdot BE$，

$\because S_{\triangle OCD}=\frac{1}{2}×OC\cdot DN$，

$\therefore $平行四边形$OABC$的面积$=2S_{\triangle OCD}$，

$\therefore OA\cdot BE=2\times \frac{15}{4}=\frac{15}{2}$，

$\because B$的坐标为（$\frac{9}{2}$，$3)$，

$\therefore BE=3$，

$\therefore OA=\frac{5}{2}$，

$\therefore BC=OA=\frac{5}{2}$，

$\therefore A(\frac{5}{2}$，$0)$，

$\therefore C$点的横坐标为：$\frac{9}{2}-\frac{5}{2}=2$，

$\because C$点的纵坐标等于$B$点的纵坐标，

$\therefore $点$C$的坐标为$\left(2,3\right)$；

$(2)$将$C\left(2,3\right)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$k=6$，

$\therefore $反比例函数$y=\frac{6}{x}$，

设直线$AB$解析式为$y=kx+b$，

将$A(\frac{5}{2}$，$0)$，$B(\frac{9}{2}$，$3)$代入$y=kx+b$，

可得：$y=\frac{3}{2}x-\frac{15}{4}$，

所以联立方程组，得

$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{6}{x}}\\{y=\frac{3}{2}x-\frac{15}{4}}\end{array}\right.$，

解得$x_{1}=\frac{5+\sqrt{89}}{4}$，$x_{2}=\frac{5-\sqrt{89}}{4}$，

$\because $点$D$在第一象限，

$\therefore x \gt 0$，

$\therefore $点$D$的横坐标为$\frac{5+\sqrt{89}}{4}$.