Simone一道中考数学压轴题
的有关信息介绍如下：
一、试题部分1-13页
二、答案部分14-36页
一、试题部分
安徽省23．按右图所示的流程，输入一个数据x，根据y与x的关系式就输出一个数据y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20～100（含20和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：
（Ⅰ）新数据都在60～100（含60和100）之间；
（Ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大。
（1）若y与x的关系是y＝x＋p(100－x)，请说明：当p＝时，这种变换满足上述两个要求；
【解】
（2）若按关系式y=a(x－h)2＋k(a>0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式。（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程）
【解】
常德市26．如图11，已知四边形是菱形，是线段上的任意一点时，连接交于，过作交于，可以证明结论成立（考生不必证明）．
（1）探究：如图12，上述条件中，若在的延长线上，其它条件不变时，其结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（5分）
（2）计算：若菱形中，在直线上，且，连接交所在的直线于，过作交所在的直线于，求与的长．（7分）
（3）发现：通过上述过程，你发现在直线上时，结论已知：如图（（（（（解法二：又∴当点作∵
买 天利38套 便知分晓
解：
(1)
将抛物线方程y=1/2x^2-x
2化为顶点式，得
y
=
1/2(x
-
1)^2
+
3/2
所以
此抛物线的对称轴方程为
x
=
1
顶点坐标为：(1,3/2)
(2)
联立方程：
y=kx
y=-x+4
解得
两直线交点坐标为P(4/(k+1),
4k/(k+1))
将直线方程代入抛物线方程，消去y得
1/2x^2
-
(k
1)x
+
2
=
由根与系数的关系韦达定理得
x1+x2
=
2(k+1)
x1*x1
=
4
(其中x1,x2为方程的两根)
分别过A、B、P点作x轴的垂线,垂足分别为A'、B'、P'。
又因三角形
△OAA',
△OPP',
△OBB'相似，
所以有
OP/OA
=
OP'/OA'
OP/OB
=
OP'/OB'
即
OP/OA
+
OP/OB
=
OP'/OA'
+
OP'/OB'
=
OP'*[(OA'+
OB')/OA'*OB']
又因
OP'
=
4/(k+1)
OA'+
OB'
=
x1
+
x2
=
2(k+1)
OA'*OB'
=
x1*x1
=
4
所以
OP/OA
+
OP/OB
=
4/(k+1)*2(k+1)/4
=
2
得证。
(3)
将x=y/k
代入抛物线方程，消去x,化简后得
y^2
-
(2k^2+2k)y
+
4k^2
=
由根与系数的关系韦达定理知，A、B两点的纵坐标之和为
y1+y2
=
2k^2+2k
令2k^2+2k
=
4
解得
k=
1
或
k=-2(不合题意，舍去)
而k=1时，关于y的方程为：y^2-4y+4
=
解得
y1=y2
=2
说明直线和抛物线交于一点，A、B点重合，不和题意。
所以，不存在K，使A、B两点的纵坐标之和为4。
注：x^2
表示x的平方。
（1）将A（-3，0），B（-1，0）代入抛物线y=ax^2+bx+3得：
9a-3b+3=0
a-b+3=0
解得a=1，b=4，
∴抛物线的解析式为：y=x^2+4x+3．
（2）由（1）知，抛物线解析式为：y=x^2+4x+3，
∵令x=0，得y=3，
∴C（0，3），
∴OC=OA=3，则△AOC为等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，
∴cos∠CAB=√2/2．
在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC=√(1^2+3^2)=√10．
如答图1所示，连接O1B、O1C，
由圆周角定理得：∠BO1C=2∠BAC=90°，
∴△BO1C为等腰直角三角形，
∴⊙O1的半径O1B=√2/2BC=√5．
（3）抛物线y=x^2+4x+3=（x+2）^2-1，
∴顶点P坐标为（-2，-1），对称轴为x=-2．
又∵A（-3，0），B（-1，0），可知点A、B关于对称轴x=-2对称．
如答图2所示，由圆及抛物线的对称性可知：点D、点C（0，3）关于对称轴对称，
∴D（-4，3）．
又∵点M为BD中点，B（-1，0），
∴M（-5/2，3/2），
∴BM=√{[-5/2-(-1)]^2+(3/2)^2}=3√2/2；
在△BPC中，B（-1，0），P（-2，-1），C（0，3），
由两点间的距离公式得：BP=√2，BC=√10，PC=2√5．
∵△BMN∽△BPC
∴BM∶BP=BN∶BC=MN∶PC
即(3√2/2)/√2=BN/√10=MN/2√5，
解得：BN=3√10/2，MN=3√5．
设N（x，y），由两点间的距离公式可得：
(x+1)^2+y^2=(3√10/2)^2
(x+5/2)^2+(y-3/2)^2=(3√5)^2，
解得：x1=7/2;y1=-3/2或x2=1/2;y2=-9/2，
∴点N的坐标为（7/2，-3/2）或（1/2，-9/2）．
貌似图片传不上来
参考文献：附件
